شرح التفاضل للصف الثاني الثانوي مع أمثلة محلولة وتطبيقات

مقدمة

يُعتبر درس التفاضل من أهم الدروس في منهج الرياضيات للصف الثاني الثانوي، ويمثل مدخلًا لفهم التغيرات في الدوال الرياضية. ويعد التفاضل من أهم أدوات الرياضيات المستخدمة في الفيزياء، والهندسة، والاقتصاد، وعلم البيانات. في هذا المقال، سنقدّم شرحًا موسعًا لمفاهيم التفاضل الأساسية مع أمثلة محلولة وتطبيقات عملية وتاريخية تساعد الطالب على الفهم والاستيعاب، وتمكنه من التعامل مع الأسئلة الامتحانية بكفاءة.

---

أولًا: ما هو التفاضل؟

• التفاضل هو فرع من الرياضيات يُعنى بدراسة معدل التغير اللحظي في كميات متغيرة.
• الهدف الأساسي من التفاضل هو إيجاد المشتقة، وهي تعبير رياضي يدل على كيفية تغير دالة رياضية معينة عندما يتغير المتغير المستقل.

أصل التفاضل:

• نشأ التفاضل من محاولات العلماء في القرون 17–18 لحساب ميل المنحنيات والمساحات تحتها.
• من أشهر من أسّس هذا الفرع: إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنتز.

المفهوم الهندسي:

• مشتقة دالة تمثل ميل المماس لمنحنى تلك الدالة عند نقطة معينة.

المصطلحات الأساسية:

المصطلح	التعريف
الدالة (Function)	علاقة تربط بين كل عنصر من مجموعة إلى عنصر آخر
المشتقة (Derivative)	معدل التغير اللحظي للدالة بالنسبة لمتغير معين
المتغير (Variable)	الكمية التي تتغير أثناء الدراسة
الثابت (Constant)	قيمة لا تتغير

---

ثانيًا: قاعدة المشتقة الأولى – Power Rule

إذا كانت الدالة f(x) = xⁿ فإن:

f'(x) = n × xⁿ⁻¹

هذه القاعدة الأساسية تُستخدم مع كثير من الدوال كثيرة الحدود.

أمثلة:

1. f(x) = x² → f'(x) = 2x
2. f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
3. f(x) = 5x → f'(x) = 5

ملحوظة:

• مشتقة x = 1، ومشتقة الثابت = 0

---

ثالثًا: مشتقة الجمع والطرح – Sum and Difference Rule

إذا كانت:

f(x) = u(x) ± v(x) فإن: f'(x) = u'(x) ± v'(x)

مثال:

إذا كانت f(x) = x³ + 2x → f'(x) = 3x² + 2

---

رابعًا: مشتقة الثوابت والدوال الخطية

• مشتقة الثابت = صفر.
• إذا كانت الدالة خطية f(x) = ax + b، فإن مشتقتها = a

أمثلة:

• f(x) = 7x + 3 → f'(x) = 7
• f(x) = −4x + 9 → f'(x) = −4

---

خامسًا: قواعد مشتقة الدوال المركبة (التمهيد فقط)

فيما يلي تمهيد للصف الثالث الثانوي:

• إذا كانت الدالة مركبة f(g(x))، فإن مشتقتها تعتمد على ما يسمى قاعدة السلسلة.
• مثال: f(x) = (3x + 1)² → باستخدام التوسع نحصل على f'(x) = 2(3x + 1) × 3 = 6(3x + 1)

---

سادسًا: تطبيقات عملية على التفاضل

1. تحديد الميل:

• مشتقة الدالة تعني ميل المماس للمنحنى عند نقطة.
• تُستخدم لحساب الاتجاه أو تغير الكمية.

2. تحديد القيم العظمى والصغرى:

• عندما تكون المشتقة = صفر، يمكن أن تكون هناك قيمة عظمى أو صغرى.
• نستخدم المشتقة الثانية لتحديد طبيعة هذه القيم.

3. الحركة والسرعة والتسارع:

• في الفيزياء:
  • إذا كانت s(t) تمثل الإزاحة، فإن:
    • السرعة v(t) = s'(t)
    • التسارع a(t) = v'(t)

4. الاقتصاد والإنتاج:

• التفاضل يُستخدم لحساب أقصى ربح أو أقل تكلفة من خلال تحليل الدوال الاقتصادية.

5. تحليل البيانات والمنحنيات:

• يُستخدم لتحديد الاتجاهات في الرسوم البيانية.

---

سابعًا: تدريبات محلولة

تدريب 1:

f(x) = 4x³ − 5x + 2

f'(x) = 12x² − 5

تدريب 2:

f(x) = x⁴ + 3x² − x

f'(x) = 4x³ + 6x − 1

تدريب 3:

f(x) = 7

f'(x) = 0

تدريب 4:

إذا كانت d(t) = t² + 2t + 5 تمثل المسافة، أوجد السرعة اللحظية عند t = 2

d'(t) = 2t + 2 → عند t = 2: v = 2(2) + 2 = 6

---

ثامنًا: أسئلة امتحانية متوقعة

1. أوجد المشتقة الأولى للدوال التالية:
   • f(x) = x⁵ − 2x²
   • f(x) = 4x + 7
   • f(x) = 6
2. إذا كانت f(x) = x³ + x² − x، أوجد f'(x)
3. في مسألة حركة، إذا كانت s(t) = t²، فما هي السرعة اللحظية عند t = 3؟
4. أوجد المشتقة الثانية للدالة f(x) = x⁴ − 4x² + 1
5. قارن بين:
   • مشتقة الثابت ومشتقة x
   • التطبيقات الفيزيائية والاقتصادية للتفاضل

---

خاتمة

التفاضل ليس فقط أداة رياضية، بل هو لغة التغير. من خلاله نستطيع فهم الحركة، النمو، الانخفاض، والتوقع. ومن خلال التدريب المستمر وفهم القواعد الأساسية، يصبح الطالب قادرًا على التعامل مع أي مسألة تفاضلية بثقة.

المصادر:

• كتاب الرياضيات للصف الثاني الثانوي – وزارة التربية والتعليم
• دليل المعلم في التفاضل
• منصة بنك المعرفة المصري