ملخص شامل لدرس المصفوفات للصف الثاني الثانوي علمي
المقدمة
تُعد المصفوفات من أهم المفاهيم الرياضية الحديثة التي تُستخدم في العديد من المجالات التطبيقية، مثل الهندسة، البرمجة، الاقتصاد، والفيزياء. في الصف الثاني الثانوي شعبة علمي، يُدرّس درس المصفوفات كأحد الأسس الرياضية التي تساعد الطالب على فهم الأنظمة العددية وتمثيل البيانات والعلاقات الرياضية بصورة مرتبة ومنظمة. في هذا المقال، نقدّم لك ملخصًا شاملًا، منظمًا، وسهل الفهم، يغنيك عن الرجوع إلى مصادر متفرقة ويضمن لك التفوق في الامتحان.
أولاً: تعريف المصفوفة
المصفوفة هي مجموعة من الأعداد أو الرموز تُكتب على شكل مستطيل من الصفوف (أفقية) والأعمدة (رأسية).
مثال:
A = | 1 3 | | 4 2 |
هذه مصفوفة من الرتبة 2×2 (صفّان وعمودان).
ثانيًا: أنواع المصفوفات
| النوع | التعريف |
|---|---|
| المصفوفة الصفرية | جميع عناصرها أصفار |
| المصفوفة المربعة | عدد الصفوف = عدد الأعمدة |
| المصفوفة القطرية | جميع العناصر خارج القطر الرئيسي = صفر |
| المصفوفة الوحدة | مصفوفة قطرية يكون جميع عناصر القطر الرئيسي فيها = 1 |
| المصفوفة المتماثلة | تساوي المصفوفة مع نفسها بعد النقل (A = A^T) |
ثالثًا: العمليات على المصفوفات
1. الجمع والطرح:
- يشترط أن تكون المصفوفات من نفس الرتبة.
- يتم جمع أو طرح كل عنصر من نفس الموقع.
2. الضرب في عدد حقيقي:
- يُضرب كل عنصر في المصفوفة بهذا العدد.
3. ضرب المصفوفات:
- يمكن ضرب مصفوفة A (رتبتها m×n) بمصفوفة B (رتبتها n×p) فقط إذا كانت عدد أعمدة A = عدد صفوف B.
- ناتج الضرب يكون مصفوفة من الرتبة m×p.
رابعًا: مصفوفة الوحدة والتطبيقات
- مصفوفة الوحدة هي المصفوفة التي لا تغيّر المصفوفة الأخرى عند ضربها بها.
- تشبه العدد “1” في الأعداد الحقيقية.
I = | 1 0 | | 0 1 |
خامسًا: المصفوفة المنقولة (Transpose)
- يُقصد بها تحويل الصفوف إلى أعمدة والعكس.
- يُرمز لها بـ A^T
مثال:
A = | 1 2 | | 3 4 |
A^T = | 1 3 | | 2 4 |
سادسًا: أمثلة تدريبية محلولة
المثال الأول:
اجمع بين المصفوفتين: A = | 2 3 | | 4 1 |
B = | 1 0 | | 2 5 |
A + B = | 3 3 | | 6 6 |
المثال الثاني:
اضرب المصفوفة: A = | 2 -1 | | 0 3 |
2A = | 4 -2 | | 0 6 |
المثال الثالث:
احسب ناتج الضرب: A = | 1 2 | | 3 4 |
B = | 5 6 | | 7 8 |
A × B = | (1×5 + 2×7) (1×6 + 2×8) | | (3×5 + 4×7) (3×6 + 4×8) |
| 19 22 | | 43 50 |
سابعًا: استخدامات المصفوفات في الحياة
- في البرمجة وتحليل البيانات.
- في حسابات الفيزياء والهندسة.
- في التشفير والأمن السيبراني.
- في الرسومات ثلاثية الأبعاد.
أسئلة متوقعة على الدرس:
- ما شروط جمع أو طرح مصفوفتين؟
- ما رتبة المصفوفة الناتجة من ضرب مصفوفة 2×3 في مصفوفة 3×4؟
- ما الفرق بين المصفوفة المربعة والمصفوفة القطرية؟
- هل ضرب المصفوفات عملية إبدالية؟ لماذا؟
- أوجد ناتج A^T لمصفوفة: A = | 3 7 | | -2 4 |
خاتمة
فهم درس المصفوفات لا يُعد فقط مطلبًا دراسيًا، بل يُعتبر مهارة رياضية وعلمية تُستخدم في الحياة اليومية والمستقبل المهني. ننصح بالتدرب المكثف على العمليات الأساسية (الجمع، الطرح، الضرب، النقل) والاستيعاب الجيد للأنواع المختلفة للمصفوفات وتمثيلها الرياضي.
المصادر:
- كتاب الرياضيات – الصف الثاني الثانوي – وزارة التربية والتعليم المصرية
- موسوعة الرياضيات – مكتبة الإسكندرية
- Math is Fun – Matrix Basics
